Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.

Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.

Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Полная площадь фигуры состоит из боковой и площади 2-х оснований. Как найти площади прямоугольного параллелепипеда:

Где a, b и c – это измерения геометрического тела.
Описанные формулы просты для понимания и полезны при решении множества задач геометрии. Пример типового задания представлен на следующем изображении.

При решении подобного рода задач следует помнить, что основание четырехугольной призмы выбирается произвольно. Если за основание принять грань с измерениями x и 3, то значения Sбок будет иным, а Sполн останется 94 см2.

Площадь поверхности куба

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения равны между собой. В связи с этим формулы полной и боковой площади куба отличаются от стандартных.

Периметр куба равен 4a, следовательно, Sбок= 4*a*a = 4*a2. Данные выражения не обязательны для заучивания, но значительно ускоряют решение заданий.

Пример решения задачи

Приведенные формулы могут использоваться в ходе поиска диагоналей параллелепипеда.

Для нахождение B1D достаточно применить теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

В 5 классе в курсе математики изучается тема прямоугольного параллелепипеда. Сегодня мы поговорим о формулах для нахождения площади прямоугольного параллелепипеда боковой поверхности и площади полной поверхности этой фигуры, которые наиболее часто вызывают затруднение у учеников при изучении этой темы.

Определения

Параллелепипед – это фигура, который состоит из шести четырехугольников. Если в основании этой фигуры находится прямоугольник, то многогранник называется прямоугольным параллелепипедом.

Прямоугольный параллелепипед имеет четыре боковые грани. Две из них называются основанием многогранника. Для обозначения вершин фигуры используют большие латинские буквы.

Если две грани не имеют общего ребра, то они называются противоположными. Так как каждая грань является прямоугольником, где противоположные стороны равны, то и противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны.

Стороны граней – это ребра, фигура имеет 12 ребер. Длина ребер определяет основные характеристики прямоугольного параллелепипеда: площадь, периметр, объем.

Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед

Примеры таких фигур мы часто встречаем в нашей жизни: кирпич, коробка, системный блок компьютера.

Математическая фигура – прямоугольный параллелепипед активно используется в искусстве, архитектуре и прочих областях.

Различают несколько видов параллелепипедов, с основанием в виде квадрата, параллелограмма или прямоугольника.

Формула для нахождения площади

Для того, чтобы найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, необходимо вычислить по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем просуммировать получившиеся значения.

$S = ac, a, b, c$ – стороны фигуры.

Рис. 2. Прямоугольный параллелепипед

А так как противоположные грани равны, то есть $AMPD = BNKC$, $AMNB = DPKC$, их сумма и будет площадью боковой поверхности многоугольника.

Соответственно, чтобы вычислить площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда необходимо сложить площадь боковой поверхности и две площади основания. В итоге получится формула площади прямоугольного параллелепипеда.

$S = 2(ab + ac) + 2 bc = 2(ab + ac + bc)$

Иногда для уточнения возле знака площади пишут краткое обозначение например, S п.п – площадь полной поверхности, либо S б.п – площадь боковой поверхности. Это помогает вовремя выполнения задание не перепутать нужные данные.

Пример задания

Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длина и ширина основания 4 см и 3 см соответственно, а высота равна 2 см.

Параллелепипед - это многогранник, который представляет собой частный вид прямоугольной шестигранной призмы. В основании параллелепипеда лежит прямоугольник или равносильный ему четырехугольник, а в качестве боковых поверхностей выступают параллелограммы. Как и любая призматическая фигура, параллелепипед широко распространен в реальной жизни, но в большинстве случаев реальный многогранник принимает форму прямоугольного параллелепипеда.

Геометрия параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед представляет собой два одинаковых прямоугольника, лежащие в параллельных плоскостях и четыре соединяющих их прямоугольника, которые образуют боковую поверхность фигуры. В общем случае параллелепипед представляет собой частный случай прямой четырехугольной призмы. Параллелепипед - наиболее распространенная в реальной жизни фигура. Именно форму данного многогранника имеют такие объекты как дома, комнаты, кирпичи, картонные коробки, блоки компьютеров, упаковки молока, спичечные коробки и многое другое.

Реальный мир состоит их различных геометрических фигур, поэтому вам может понадобиться калькулятор, который мгновенно посчитает площадь поверхности объекта, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, будь то корпусная мебель, кладовка или системный блок стационарного компьютера.

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь полной поверхности такой призмы определяется как сумма площадей всех граней. Параллелепипед представляет собой шестигранник, каждая пара граней которого равны между собой. Это означает, что каждая грань параллелепипеда имеет свою конгруэнтную пару. Таким образом, площадь поверхности данной призматической фигуры выражается как двойная сумма площадей каждой грани.

S = 2 (Sa + Sb + Sc)

Так как каждая грань параллелепипеда представляет собой обычный прямоугольник, то площадь одной грани определяется как произведение сторон многоугольника. Если призматическая фигура имеет стороны a, b и c, то площадь ее полной поверхности будет равна:

S = 2 (ab + bc + ac)

Для более простого понимания можем представить формулу через длину, ширину и высоту параллелепипеда. В этом случае в формуле будет лишь небольшое изменение:

S = 2 (ab + bh + ah)

Таким образом, для определения площади полной поверхности призматической фигуры вам понадобится узнать три ее параметра. Введите эти данные в форму онлайн-калькулятора и вы получите мгновенный результат. Кроме того, калькулятор сразу подсчитает длину диагонали многогранника. Расчет площади поверхности призматической фигуры может понадобиться вам во многих ситуациях.

Примеры из жизни

Покраска стен

Допустим, вы хотите покрасить стены, пол и потолок кухни белой краской. Вам необходимо купить достаточное количество краски для обработки выбранного помещения. Зная, что расход масляной краски на 1 квадратный метр поверхности составляет приблизительно 200 грамм, вы можете определить, сколько материала вам понадобится для работы. Пусть высота кухонного помещения составляет 3 м, ширина 2 м, а длина - 5 м. Введите эти данные в онлайн-калькулятор и вы получите результат в виде:

Таким образом, вам понадобится покрасить 62 квадратных метров поверхности. Для этого вам потребуется купить 12,4 кг масляной краски или 5 банок краски по 2,8 кг.

Производство

Допустим, вы работаете на производстве и покрываете стальной квадратный профиль защитным покрытием, окуная детали в ванную с раствором. Для правильного расчета параметров покраски вам необходимо знать площадь поверхности одного стального профиля, который имеет форму параллелепипеда. Стандартный квадратный профиль имеет размеры: длина 6 м, сторона а = 80 мм, сторона b = 80 мм. Для правильного расчета вам необходимо подставить все размеры в одних единицах измерения, к примеру, в сантиметрах. В этом случае вбейте в онлайн-калькулятор три стороны параллелепипеда, которые равны 600, 8 и 8. Вы получите результат в виде:

Таким образом, полная площадь поверхности стального профиля составляет 19 328 квадратных сантиметров или 1,9828 квадратных метра. Зная площадь поверхности одного профиля, вы легко сможете определить параметры покраски деталей защитным покрытием.

Заключение

Большое количество реальных объектов имеет форму параллелепипеда: это и кирпичи, и комнаты, и здания, и детали машин, и многое другое. Расчет площади данного многогранника может понадобиться в самых неожиданных ситуациях, как-то житейские проблемы или профессиональные расчеты. Наш онлайн-калькулятор поможет вам быстро определить объемы и площади поверхностей любых правильных геометрических фигур.

Одной из самых простых можно назвать параллелепипед. Он имеет форму призмы, в основании которой расположен параллелограмм. Не составляет труда подсчитать площадь параллелепипеда, поскольку формула очень проста.

Призму составляют грани, вершины и рёбра. Распределение этих составляющих элементов выполнено в том минимальном количестве, которое необходимо для образования этой геометрической формы. Параллелепипед заключает в себе 6 граней, которые соединяются посредством 8-ми вершин и 12-ти рёбер. Причём противоположные стороны параллелепипеда всегда будут равны между собой. Поэтому, чтобы узнать площадь параллелепипеда, достаточно определить размеры трёх его граней.

Параллелепипед (в переводе с греческого языка термин означает «параллельные грани») обладает некоторыми свойствами, которые следует упомянуть. Во-первых, симметричность фигуры подтверждается только в середине каждой своей диагонали. Во-вторых, проведя между любыми из противоположных вершин диагональ, можно обнаружить, что все вершины имеют единую точку пересечения. Также стоит отметить то свойство, что противоположные грани всегда равны и будут обязательно параллельны между собой.

В природе различают такие разновидности параллелепипедов:

прямоугольный - состоит из граней прямоугольной формы;

прямой - имеет только боковые грани прямоугольные;

наклонный параллелепипед имеет в составе боковые грани, которые поставлены неперпендикулярно основаниям;

куб - состоит из граней квадратной формы.

Попробуем найти площадь параллелепипеда на примере прямоугольного типа этой фигуры. Как нам уже известно, все его грани прямоугольные. И поскольку количество этих элементов сводится к шести, то, узнав площадь каждой грани, нужно суммировать получившиеся результаты в одно число. А найти площадь каждой из них не составит труда. Для этого необходимо умножить две стороны прямоугольника.

Используется математическая формула, чтобы определить площадь прямоугольного параллелепипеда. Она состоит из знаковых символов, обозначающих грани, площадь, и выглядит так: S=2(ab+bc+ac), где S - площадь фигуры, a, b — стороны основания, c — боковое ребро.

Приведём примерное вычисление. Допустим, a = 20 см, b = 16 см, c = 10 см. Теперь нужно перемножить числа в соответствии с требованиями формулы: 20*16+16*10+20*10 и получаем число 680 см2. Но это будет лишь половина фигуры, так как мы узнали и суммировали площади трёх граней. Поскольку каждая грань имеет своего «двойника», нужно удвоить результирующее значение, и получаем площадь параллелепипеда, равную 1360 см2.

Чтобы вычислить площадь боковой поверхности, применяют формулу S=2c(a+b). Площадь основания параллелепипеда можно узнать, умножая длины сторон основания друг на друга.

В повседневном быту параллелепипеды можно встретить часто. О их существовании нам напоминает форма кирпича, деревянного ящика обычного спичечного коробка. Примеров каждый сможет найти в изобилии вокруг нас. В школьных программах по геометрии на изучение параллелепипеда отведено несколько уроков. Первые из них демонстрируют модели прямоугольного параллелепипеда. Затем ученикам показывают, как вписывать в него шар или пирамиду, другие фигуры, находить площадь параллелепипеда. Одним словом, это простейшая трёхмерная фигура.

Параллелепипед - самая распространенная фигура из тех, что окружают людей. Большинство помещений представляют собой именно его. Особенно важно знать площадь параллелепипеда, хотя бы его боковых граней, во время ремонта. Ведь нужно точно знать, сколько материала приобрести.

Что он собой представляет?

Это призма с четырехугольным основанием. Поэтому у нее четыре боковых грани, которые являются параллелограммами. То есть такое тело имеет всего 6 граней.

Для определения параллелепипеда в пространстве у него определяют площадь и объем. Первая может быть как отдельно для каждой грани, так и для всей поверхности. К тому же выделяют еще и площадь только боковых граней.

Какие существуют виды параллелепипедов?

Наклонный. Такой, у которого боковые грани образуют с основанием угол, отличный от 90 градусов. У него верхний и нижний четырехугольники не лежат друг напротив друга, а сдвинуты.

Прямой. Параллелепипед, боковые грани которого являются прямоугольниками, а в основании лежит фигура с произвольными величинами углов.

Прямоугольный. Частный случай предыдущего вида: в его основании находится прямоугольник.

Куб. Особый тип прямого параллелепипеда, в котором все грани представлены квадратами.

Некоторые математические особенности параллелепипеда

Может возникнуть ситуация, когда они окажутся полезными в том, чтобы найти площадь параллелепипеда.

• Грани, которые лежат напротив друг друга, не только параллельны, но и равны.
• Диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся на равные части.
• Более общий случай, если отрезок соединяет две точки на поверхности тела и проходит через точку пересечения диагоналей, то он делится этой точкой пополам.
• Для прямоугольного параллелепипеда справедливо равенство, в котором в одной его части стоит квадрат диагонали, а в другой - сумма квадратов его высоты, ширины и длины.

Площади прямого параллелепипеда

Если обозначить высоту тела как «н», а периметр основания буквой Р ос, то вся боковая поверхность может быть вычислена по формуле:

S бок = Р ос * н

Используя эту формулу и определив площадь основания, можно сосчитать полную площадь:

S = S бок + 2 * S ос

В последней записи S ос., то есть площадь основания параллелепипеда, может быть вычислена по формуле для параллелограмма. Другими словами, потребуется выражение, в котором нужно перемножить сторону и высоту, опущенную на нее.

Площади прямоугольного параллелепипеда

Принято стандартное обозначение длины, ширины и высоты такого тела буквами «а», «в» и «с» соответственно. Площадь боковой поверхности будет выражаться формулой:

S бок = 2 * с * (а + в)

Чтобы вычислить полную площадь прямоугольного параллелепипеда, потребуется такое выражение:

S = 2 * (ав + вс + ас)

Если окажется необходимым узнать площадь его основания, то достаточно вспомнить, что это прямоугольник, а значит, достаточно перемножить «а» и «в».

Площади куба

Его боковая поверхность образована четырьмя квадратами. Значит, чтобы ее найти, потребуется воспользоваться известной для квадрата формулой и умножить ее на четыре.

S бок = 4 * а 2

А из-за того, что его основания - такие же квадраты, полная площадь определится по формуле:

S = 6 * а 2

Площади наклонного параллелепипеда

Поскольку его грани - это параллелограммы, то нужно узнать площадь каждого из них и потом сложить. К счастью, противолежащие равны. Поэтому вычислять площади нужно только три раза, а потом умножить их на два. Если записать это в виде формулы, то получится следующее:

S бок = (S 1 + S 2) * 2,

S = (S 1 + S 2 + S 3) * 2

Здесь S 1 и S 2 являются площадями двух боковых граней, а S 3 - основания.

Задачи по теме

Задание первое. Условие. Необходимо узнать длину диагонали куба, если площадь всей его поверхности равна 200 мм 2 .

Решение. Начать нужно с получения выражения для искомой величины. Ее квадрат равен трем квадратам стороны куба. Это значит, что диагональ равна «а», умноженной на корень из 3.

Но сторона куба неизвестна. Здесь потребуется воспользоваться тем, что известна площадь всей поверхности. Из формулы получается, что «а» равно квадратному корню из частного S и 6.

Ответ. Диагональ куба равна 10 мм.

Задание второе. Условие. Необходимо вычислить площадь поверхности куба, если известно, что его объем равен 343 см 2 .

Решение. Потребуется воспользоваться той же формулой для площади куба. В ней опять неизвестно ребро тела. Но зато дан объем. Из формулы для куба очень просто узнать «а». Оно будет равно кубическому корню из 343. Простой подсчет дает такое значение для ребра: а = 7 см.

Ответ. S = 294 см 2 .

Задание третье. Условие . Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания 20 дм. Необходимо найти ее боковое ребро. Известно, что площадь параллелепипеда равна 1760 дм 2 .

Решение. Начинать рассуждения нужно с формулы для площади всей поверхности тела. Только в ней нужно учесть, что ребра «а» и «в» равны. Это следует из утверждения о том, что призма правильная. Значит, в его основании лежит четырехугольник с равными сторонами. Отсюда а = в = 20 дм.

Учитывая это обстоятельство, формула площади упростится до такой:

S = 2 * (а 2 + 2ас).

В ней известно все, кроме искомой величины «с», которая как раз и является боковым ребром параллелепипеда. Чтобы его найти, нужно выполнить преобразования:

• разделить все неравенство на 2;
• потом перенести слагаемые так, чтобы слева оказалось слагаемое 2ас, а справа - деленная на 2 площадь и квадрат «а», причем последнее будет со знаком «-»;
• затем поделить равенство на 2а.

В итоге получится выражение:

с = (S/2 - а 2) / (2а)

После подстановки всех известных величин и выполнения действий получается, что боковое ребро равно 12 дм.

Ответ . Боковое ребро «с» равняется 12 дм.

Задание четвертое. Условие. Дан прямоугольный параллелепипед. Одна из его граней имеет площадь, равную 12 см 2 . Необходимо вычислить длину ребра, которое перпендикулярно этой грани. Дополнительное условие: объем тела равен 60 см 3 .

Решение. Пусть известна площадь той грани, которая расположена лицом к наблюдателю. Если принять за обозначение стандартные буквы для измерений параллелепипеда, то в основании ребра будут «а» и «в», вертикальное - «с». Исходя из этого, площадь известной грани определится как произведение «а» на «с».

Теперь нужно воспользоваться известным объемом. Его формула для прямоугольного параллелепипеда дает произведение всех трех величин: «а», «в» и «с». То есть известная площадь, умноженная на «в», дает объем. Отсюда получается, что искомое ребро можно вычислить из уравнения:

Элементарный расчет дает результат 5.

Ответ. Искомое ребро равно 5 см.

Задание пятое. Условие. Дан прямой параллелепипед. В его основании лежит параллелограмм со сторонами 6 и 8 см, острый угол между которыми равен 30º. Боковое ребро имеет длину 5 см. Требуется вычислить полную площадь параллелепипеда.

Решение. Это тот случай, когда нужно узнать площади всех граней по отдельности. Или, точнее, трех пар: основание и две боковые.

Поскольку в основании расположен параллелограмм, то его площадь вычисляется как произведение стороны на высоту к ней. Сторона известна, а высота - нет. Ее нужно сосчитать. Для этого потребуется значение острого угла. Высота образует в параллелограмме прямоугольный треугольник. В нем катет равен произведению синуса острого угла, который ему противолежит, на гипотенузу.

Пусть известная сторона параллелограмма - это «а». Тогда высота будет записана как в * sin 30º. Таким образом, площадь основания равна а * в * sin 30º.

С боковыми гранями все проще. Они - прямоугольники. Поэтому их площади - это произведение одной стороны на другую. Первая — а * с, вторая — в * с.

Осталось объединить все в одну формулу и сосчитать:

S = 2 * (а * в * sin 30º + а * с + в * с)

После подстановки всех величин получается, что искомая площадь равна 188 см 2 .

Ответ. S = 188 см 2 .