Граничные условия первого рода. I

), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.

Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (т. н. задачи Коши). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определённых классов начальных и краевых задач.

Терминология

Иногда к граничным относят и начальные условия в нестационарных задачах, таких как решение гиперболических или параболических уравнений .

Для стационарных задач существует разделение граничных условий на главные и естественные .

Главные условия обычно имеют вид u (∂ Ω) = g {\displaystyle u(\partial \Omega)=g} , где ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } - граница области Ω {\displaystyle \Omega } .

Естественные условия содержат также и производную решения по нормали к границе.

Пример

Уравнение d 2 y d t 2 = − g {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-g} описывает движение тела в поле земного тяготения . Ему удовлетворяет любая квадратичная функция вида y (t) = − g t 2 / 2 + a t + b , {\displaystyle y(t)=-gt^{2}/2+at+b,} где a , b {\displaystyle a,b} - произвольные числа. Для выделения конкретного закона движения необходимо указать начальную координату тела и его скорость, то есть начальные условия .

Корректность постановки граничных условий

Задачи математической физики описывают реальные физические процессы, а потому их постановка должна удовлетворять следующим естественным требованиям:

Решение должно существовать в каком-либо классе функций;
Решение должно быть единственным в каком-либо классе функций;
Решение должно непрерывно зависеть от данных (начальных и граничных условий, свободного члена, коэффициентов и т. д.).

Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближённо, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешности измерений. Математически это требование можно записать, например, так (для независимости от свободного члена):

Пусть задано два дифференциальных уравнения: L u = F 1 , L u = F 2 {\displaystyle Lu=F_{1},~Lu=F_{2}} с одинаковыми дифференциальными операторами и одинаковыми граничными условиями, тогда их решения будут непрерывно зависеть от свободного члена, если:

∀ ε > 0 ∃ δ > 0: (‖ F 1 − F 2 ‖ < δ) ⇒ (‖ u 1 − u 2 ‖ < ε) {\displaystyle \forall \varepsilon >0~\exists \delta >0:~\left(\|F_{1}-F_{2}\|<\delta \right)\Rightarrow \left(\|u_{1}-u_{2}\|<\varepsilon \right)} , где u 1 {\displaystyle u_{1}} , u 2 {\displaystyle u_{2}} - решения соответствующих уравнений.

Множество функций, для которых выполняются перечисленные требования, называется классом корректности . Некорректную постановку граничных условий хорошо иллюстрирует

Как уже отмечалось во введении, дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка имеют бесчисленное множество решений, зависящих от двух произвольных функций. Чтобы определить эти произвольные функции, или, иначе говоря, выделить необходимое нам частное решение, нужно на искомую функцию наложить дополнительные условия. С аналогичным явлением читатель встречался уже при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, когда выделение часшого решения из общего заключалось в процессе отыскания произвольных постоянных по заданным начальным условиям.

При рассмотрении задачи о колебаниях струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и краевые (или граничные).

Начальные условия показывают, в каком состоянии находилась струна в момент начала колебания. Удобнее всего Считать, что струна начала колебаться в момент времени . Начальное положение точек струны задается условием

а начальная скорость

где - заданные функции.

Запись и означает, что функция взята при произвольном значении и при , т. е. аналогично . Такая форма записи постоянно применяется в дальнейшем; так, например, и т. д.

Условия (1.13) и (1.14) аналогичны начальным условиям в простейшей задаче динамики материальной точки. Там для определения закона движения точки, помимо дифференциального уравнения, нужно знать начальное положение точки и ее начальную скорость.

Иной характер имеют краевые условия. Они показывают, что происходит на концах струны во все время колебаний. В простейшем случае, когда концы струны закреплены (начало струны - в начале координат, а конец - в точке функция будет подчиняться условиям

С такими же точно условиями читатель встречался в курсе сопротивления материалов при изучении изгиба балки, лежащей на двух опорах, под действием статической нагрузки.

Физический смысл того факта, что задание начальных и краевых условий полностью определяет процесс, проще всего проследить для случая свободных колебаний струны.

Пусть, например, струну, закрепленную на концах, как-то оттянули, т. е. задали функцию - уравнение начальной формы струны, и отпустили без начальной скорости (это значит, что ) Ясно, что этим самым дальнейший характер колебаний будет полностью определен и мы найдем единственную функцию решая однородное уравнение при соответствующих условиях. Можно заставить струну колебаться и иначе, а именно придав точкам струны некоторую начальную скорость. Физически ясно, что и в этом случае дальнейший процесс колебаний будет вполне определен. Придание точкам струны начальной скорости может быть осуществлено при помощи удара по струне (как это имеет место при игре на рояле); первый способ возбуждения струны применяется при игре на щипковых инструментах (например, гитаре).

Сформулируем теперь окончательно математическую задачу, к которой приводит изучение свободных колебаний струны, закрепленной на обоих концах.

Требуется решить однородное линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассматриваемой области соответственно.

Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (т. н. задачи Коши). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определенных классов начальных и краевых задач.

Терминология

Для стационарных задач существует разделение граничных условий на главные и естественные .

Главные условия обычно имеют вид , где - граница области .

Естественные условия содержат также и производную решения по нормали к границе.

Пример

Уравнение описывает движение тела в поле земного тяготения. Ему удовлетворяет любая квадратичная функция вида , где - произвольные числа. Для выделения конкретного закона движения необходимо указать начальную координату тела и его скорость, то есть начальные условия .

Корректность постановки граничных условий

Решение должно существовать в каком-либо классе функций;
Решение должно быть единственным в каком-либо классе функций;
Решение должно непрерывно зависеть от данных (начальных и граничных условий, свободного члена, коэффициентов и т. д.).

Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближенно, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешности измерений. Математически это требование можно записать, например, так (для независимости от свободного члена):

Пусть задано два дифференциальных уравнения: с одинаковыми дифференциальными операторами и одинаковыми граничными условиями, тогда их решения будут непрерывно зависеть от свободного члена, если:

решения соответствующих уравнений.

См. также

Граничные условия 1 рода (Задача Дирихле) , en:Dirichlet boundary condition
Граничные условия 2 рода (Задача Неймана) , en:Neumann boundary condition
Граничные условия 3 рода (Задача Робена), en:Robin boundary condition
Условия идеального теплового контакта , en:Perfect thermal contact

Литература

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Начальные и граничные условия" в других словарях:

В теории дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой… … Википедия

Задача Неймана в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области так называемые граничные условия второго рода. По типу области задачи Неймана можно разделить на два … Википедия

граничные условия - формализованные физические условия на границе очага деформации или их математической модели, которые наряду с прочими позволяют получить единственное решение задач обработки давлением. Граничные условия разделяются на …

начальные условия - описание состояния тела перед деформацией. Обычно в начальный момент заданны эйлеровы координаты точек xi0 поверхности тела, напряжения, скорости, плотности, температуры в любой точке М тела. Дия области пространства,… … Энциклопедический словарь по металлургии

условия захвата - определенное соотношение при прокатке, связывающее угол захвата и коэффициент или угол трения, при которых обеспечивается первичный захват металла валками и заполнения очага деформации; Смотри также: Условия условия труда … Энциклопедический словарь по металлургии

Условия - : Смотри также: условия труда дифференциальные условия равновесия технические условия (ТУ) начальные условия … Энциклопедический словарь по металлургии

условия труда - совокупность санитарно гигиенических характеристик внешней среды (температура и влажность воздуха, запыленность, шум и т. п.), в которых выполняются технологические процессы; регламентированны в России трудовым… … Энциклопедический словарь по металлургии

Книги

Численные методы решения обратных задач математической физики , Самарский А.А.. В традиционных курсах по методам решения задач математической физики рассматриваются прямые задачи. При этом решение определяется из уравнений с частными производными, которые дополняются…

Определяет температуру на поверхности тела в любой момент времени, то есть

T s = T s (x, y, z, t) (2.15)

Рис. 2.4 – Изотермическое граничное условие.

Как бы не изменялась температура внутри тела, температура точек на поверхности подчиняется уравнению (2.15).

Кривая распределения температуры в теле (рис. 2.4) на границе тела имеет заданную ординату T s , которая может изменяться во времени. Частным случаем граничного условия первого рода является изотермическое граничное условие, при котором температура поверхности тела остается в течение всего процесса теплопередачи постоянной:

T s = const.

Рис. 2.5 – Условие первого рода

Чтобы представить себе такое состояние тела необходимо предположить, что симметрично источнику тепла, действующему в теле, действует другой, фиктивный источник тепла вне его с отрицательным знаком (так называемый сток тепла). Причем свойства этого стока теплоты в точности совпадают со свойствами действительного источника тепла, а распределение температур описывается одинаковым математическим выражением. Суммарное действие этих источников приведет к тому, что на поверхности тела установится постоянная температура, в частном случае Т = 0 8С , в то время как в пределах тела температура точек непрерывно меняется.

Граничное условие второго рода

Определяет плотность теплового потока в любой точке поверхности тела в любой момент времени, т.е.

По закону Фурье плотность теплового потока прямо пропорциональна градиенту температуры. Поэтому температурное поле на границе имеет заданный градиент (рис. б), в частном случае постоянные, когда

Частным случаем граничного условия второго рода является адиабатическое граничное условие, когда тепловой поток через поверхность тела равен нулю (рис. 2.6), т.е.

Рис. 2.6 - Граничное условие второго рода

В технических расчетах часто встречаются случаи, когда тепловой поток с поверхности тела мал по сравнению с потоками внутри тела. Тогда можно принять эту границу как адиабатическую. При сварке такой случай может быть представлен следующей схемой (Рис. 2.7).

Рис. 2.7 – Условие второго рода

В точке О действует источник тепла. Чтобы выполнить условие – граница не пропускает тепло, необходимо симметрично этому источнику поместить такой же источник вне тела, в точке О 1 , причем тепловой поток от него направлен против потока основного источника. Они взаимно уничтожаются, то есть граница тепла не пропускает. Однако температура края тела окажется вдвое больше, если бы это тело было бесконечным. Этот прием компенсации теплового потока носит название метода отражения, так как в этом случае теплонепроницаемая граница, может рассматриваться как граница, отражающая тепловой поток, идущий со стороны металла.

Граничное условие третьего рода.

Определяет температуру окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Наиболее простую форму граничного условия третьего рода получим, если теплообмен на границе зададим уравнение Ньютона, которое выражает, что плотность теплового потока теплоотдачи через граничную поверхность прямо пропорциональную разности температур граничной поверхности и окружающей среды

Плотность теплового потока, подтекающая к граничной поверхности со стороны тела, по закону Фурье прямо пропорционально градиенту температуры на граничной поверхности:

Приравнивая поток теплоты, поступающей со стороны тела, к потоку теплоотдачи, получаем граничное условие 3-го рода:

выражающее, что градиент температуры на граничной поверхности прямо пропорционален перепаду температуры между поверхностью тела и окружающей средой. Это условие требует, чтобы касательная к кривой распределения температуры в граничной точке переходит через направляющую точку О с температурой , находящуюся вне тела на расстоянии от граничной поверхности (рис. 2.8).

Рисунок 2.8 – Граничное условие 3 рода

Из граничного условия 3-го рода можно получить как частный случай изотермическое граничное условие. Если , что имеет место при очень большом коэффициенте теплоотдачи или очень малом коэффициенте теплопроводности , то:

и , т.е. температура поверхности тела постоянна в течение всего процесса теплообмена и равна температуре окружающей среды.

Начальные и граничные условия. Неотъемлемым и важнейшим элементом постановки любой задачи механики сплошных сред является формулировка начальных и граничных условий. Их значение определяется тем, что та или иная система разрешающих уравнений описывает целый класс движений соответствующей деформируемой среды, и лишь задание отвечающих исследуемому процессу начальных и граничных условий позволяет выделить из этого класса представляющий интерес частный случай, соответствующий решаемой практической задаче.

Начальные условия -- это условия, которыми задаются значения искомых характеристических функций в момент начала рассмотрения исследуемого процесса. Количество задаваемых начальных условий определяется количеством основных неизвестных функций, входящих в систему разрешающих уравнений, а также порядком входящей в эту систему высшей производной по времени. Например, адиабатическое движение идеальной жидкости или идеального газа описывается системой шести уравнений с шестью основными неизвестными -- тремя компонентами вектора скорости,давлением,плотностью и удельной внутренней энергией, при этом порядок производных этих физических величин по времени не превышает первый порядок. Соответственно этому в качестве начальных условий должны быть заданы начальные поля этих шести физических величин: при t =0 ,. В некоторых случаях (например, в динамической теории упругости) в качестве основных неизвестных в системе разрешающих уравнений используются не компоненты вектора скорости, а компоненты вектора перемещения, а уравнение движения содержит производные второго порядка компонент перемещения, что требует задания двух начальных условий для искомой функции: при t = 0

Более сложным и разнообразным образом при постановке задач механики сплошных сред задаются граничные условия. Граничные условия -- это условия, которыми задаются значения искомых функций (или их производных по координатам и времени) на поверхности S области, занимаемой деформируемой средой. Различают граничные условия нескольких типов: кинематические, динамические, смешанные и температурные.

Кинематические граничные условия соответствуют случаю, когда на поверхности S тела (или ее части) задаются перемещения или скорости где -- координаты точек поверхности S, изменяющиеся в общем случае в зависимости от времени.

Динамические граничные условия (или граничные условия в напряжениях) задаются, когда на поверхности S действуют поверхностные силы р. Как следует из теории напряжений, в этом случае на любой элементарной площадке поверхности с единичным вектором нормали п вектор удельных поверхностных сил рп принудительно задает вектор полного напряжения?п = рn, действующий в сплошной среде в точке на данном участке поверхности, что приводит к взаимосвязи тензора напряжений (?) в этой точке с поверхностной силой и ориентацией вектора п соответствующего участка поверхности: (?) · п = рп или.

Смешанные граничные условия соответствуют случаю, когда на поверхности S задаются значения и кинематических, динамических величин или устанавливаются взаимосвязи между ними.

Температурные граничные условия подразделяются на несколько групп (родов). Граничные условия первого рода задают на поверхности S деформируемой среды определенные значения температуры Т. Граничные условия второго рода задают на границе вектор теплового потока q, что с учетом закона теплопроводности Фурье q = -- ? grad T, по существу, накладывает ограничения на характер температурного распределения в окрестности граничной точки. Граничные условия третьего рода устанавливают зависимость между вектором теплового потока q, направленным к данной среде со стороны окружающей среды, и температурным перепадом между этими средами и т.д.

Следует отметить, что постановка и решение большинства задач физики быстропротекающих процессов, как правило, осуществляются в адиабатическом приближении, поэтому температурные граничные условия используются достаточно редко, в основном в различных сочетаниях применяются кинематические, динамические и смешанные граничные условия. Рассмотрим возможные варианты задания граничных условий на частном примере.

На рис. 3 схематично представлен процесс взаимодействия при проникании деформируемого тела I в деформируемую преграду II. Тело I ограничено поверхностями S1 и S5, а тело II -- поверхностями S2, S3, S4, S5. По -верхность S5 является границей раздела взаимодействующих деформируемых тел. Будем полагать, что движение тела I до начала взаимодействия, а также в его процессе происходит в жидкости, создающей определенное гидростатическое давление

Рисунок 3

и задающей внешние по отношению к обоим телам поверхностные силы рп = -- рп= -- рni ri, действующие на любой из элементарных площадок поверхностей S1 тела I и S2 преграды II, граничащих с жидкостью. Будем также считать, что поверхность Sз преграды жестко закреплена, а поверхность S4 свободна от действия поверхностных сил (рп = 0).

Для приведенного примера на различных поверхностях, ограничивающих деформируемые среды I и II, должны задаваться граничные условия всех трех основных типов. Очевидно, что на жестко закрепленной поверхности Sз следует задать кинематические граничные условия?(S3) = ?(, t) = 0. Граничные условия на поверхностях S1 и S2 однотипны и относятся к динамическим условиям, накладывающим ограничения на компоненты тензора напряжений в граничных точках соответствующих тел: или Компоненты тензора напряжений на поверхности S4 преграды также не могут быть произвольными, а взаимосвязаны с ориентацией ее элементарных площадок как.

Граничные условия на границе раздела (поверхность S5) взаимодействующих деформируемых сред являются наиболее сложными и относятся к условиям смешанного типа, включающим, в свою очередь, кинематическую и динамическую части (см. рис. 3). Кинематическая часть смешанных граничных условий накладывает ограничения на скорости движения индивидуальных точек обеих сред, находящихся в контакте в каждой пространственной точке поверхности S5. Возможны два варианта задания этих ограничений, проиллюстрированные на рис. 4, а и б. По наиболее простому первому варианту предполагается, что скорости движения любых двух находящихся в контакте индивидуальных точек одинаковы (? = ?) -- это так называемое условие "прилипания", или условие "сварки" (см. рис. 4, а). Более сложным и в то же время более адекватным для рассматриваемого процесса является задание условия "непроницаемости", или условия "непротекания" (? · n= ? · n; см. рис. 4, б), которое соответствует экспериментально подтверждающемуся факту: взаимодействующие деформируемые среды не могут проникать

Рисунок 4

друг в друга или отставать друг от друга, а могут проскальзывать одна относительно другой со скоростью? - ?, направленной по касательной к границе раздела ((?I - ?II) · n = 0). Динамическая часть смешанных граничных условий на границе раздела двух сред формулируется на основе третьего закона Ньютона с использованием соотношений теории напряжений (рис. 4, в). Так, в каждой из двух находящихся в контакте индивидуальных частиц деформируемых сред I и II реализуется свое напряженное состояние, характеризуемое тензорами напряжений (?)I и (?) II.При этом в среде I на каждой элементарной площадке границы раздела с единичным вектором нормали nII, внешней по отношению к данной среде, действует вектор полного напряжения?nI = (?)·nI. В среде II на той же площадке, но с единичным вектором нормали nII , внешней по отношению к этой среде, действует вектор полного напряжения?nII =(?)II · пII. С учетом взаимности действия и противодействия?nI = - ? n II , а также очевидного условия nI = --nII = n устанавливается взаимосвязь между тензорами напряжений в обеих взаимодействующих средах на границе их раздела: (?)I · п = (?) II ·п или же (?ijI - ?ijII) nj = 0.Возможные варианты задания граничных условий не исчерпываются рассмотренным частным примером. Вариантов задания начальных и граничных условий столь же много, сколь много существует в природе и технике процессов взаимодействия деформируемых тел или сред. Они определяются особенностями решаемой практической задачи и задаются в соответствии с приведенными выше общими принципами.